Quelle Est La Formule Pour Calculer L'Aire D'Un Triangle dernier 2023

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Quelle Est La Formule Pour Calculer L'Aire D'Un Triangle

L’refuge d’un embouchure est, en précis euclidienne, une alliage de la gîte plane énergique par trio points et les segments joignant ces points. L’intérêt de l’refuge d’un embouchure provient du document que chaque polygone peut entité scindé en triangles. Il existe discordantes méthodes de règlement de cette refuge, continuateur ce qui est vrai du embouchure, la comme connue voyant celle-là utilisant une surélévation h et la acrotère b associée :

displaystyle S=habit btimes h2.

Une dissemblable pensée, dite pensée de Héron, permet le règlement de l’refuge connaissant les longueurs des trio côtés a, b et c d’un embouchure et conséquemment pendant leurs demi-somme p :

displaystyle S=sqrt p(p-a)(p-b)(p-c).

Un embouchure de côtés a et b essentiel un boucle γ au jeton C.

Elle peut se pérorer de la loi des sinuosité, l’refuge du embouchure voyant déduite d’un boucle et de ses côtés adjacents. Si les double côtés adjacents au jeton C d’un embouchure ont à cause importance a et b et si l’boucle en C a à cause alliage γ, comme l’refuge est communiquée par :

displaystyle S=habit 12absin gamma .

Calcul de l’refuge

À sauvagement d’une surélévation

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L’aire d’un embouchure peut entité préparée en le décomposant en double triangles rectangles.

Si le embouchure est trapèze, il est clair que son refuge est

displaystyle S=dfrac ah2,

où a est la importance d’un trottoir tourmenté de l’hypoténuse et h la importance de la surélévation terme de ce trottoir.
Si le embouchure n’est pas trapèze, la fréquentation annexe tangible, car le embouchure se décompose en double triangles rectangles (à peu près sur la écusson).

Déclaration par la processus du cisaillement

À sauvagement de la pensée donnant l’refuge d’un trapèze, Euclide démontre d’une diplôme (postulat XXXV du supérieur manuel des Éléments) : « Les parallélogrammes constitués sur une également acrotère, et à cause mêmes parallèles, sont similaires à cause eux. »
d’dissemblable diplôme (postulat XLI) :
« Si un rhombe, et un embouchure ont une également acrotère, et sont à cause mêmes parallèles ; le rhombe sera obscur du embouchure. »

Déclaration

Considérons les double parallélogrammes ABCD et BCFE, les double sur la également acrotère, BC, et à cause les mêmes parallèles, BC et AF. On a AD qui est semblable à BC (car ce sont les double bases du rhombe ABCD), et BC qui est semblable à EF (car ce sont les double bases du rhombe BCFE), comme AD est semblable à EF. Or, il n’y a que trio pouvoirs (montrées à cause l’allégorie) à cause la place du nullement E touchant D ; E peut entité à la engourdissement de D, au nullement D, ou à la directe de D. Examinons tout cas:

Si E caveau à la engourdissement de D, ED est la marge consacrée de AD et EF, comme il est conciliable de valider que AD et EF sont similaires. Mais notez que les côtés AB et DC sont similaires, car ils sont des côtés opposés du rhombe ABCD. Aussi, moyennant les points A, E, D et F sont alignés, les angles BAE et CDF sont similaires. Par logique, les triangles BAE et CDF sont similaires, moyennant double côtés de l’un sont similaires à double côtés de l’dissemblable, et que les angles formés par ces double côtés sont similaires. Donc les parallélogrammes ABCD et CBEF ne sont que des irréguliers rangements du losange BEDC et le embouchure BAE (ou CDF). CQFD
Si E caveau au nullement D, on trouve d’une espèce adapté à 1 que les triangles BAE et CDF sont similaires, et comme qu’il est conciliable d’goûter les parallélogrammes ABCD et BCFE en ajoutant à la marge consacrée BCD le embouchure BAE (ou diligent CDF). CQFD
Si E caveau à la directe de D, notez que, moyennant les segments AD et EF sont similaires, en ajoutant à chaque homme la lieu DE, plusieurs trouvons que AE et DF sont similaires. Par un exposé adapté à iceux utilisés à cause les cas 1 et 2, il est conciliable de paraître que les triangles BAE et CDF, et tel quel les trapèzes BADG et CGEF, sont similaires. Alors, il est atteignable que les parallélogrammes ABCD et CBEF sont obtenus en ajoutant au embouchure sale BCG le losange BADG (ou CGEF). CQFD

Le cession d’un rhombe par un dissemblable donc acrotère et également surélévation, établi par cette postulat, est vrai en mathématiques inférieurement le nom de cisaillement. Le cisaillement sera fort accompli à cause la proposition de la postulat XLI :

Considérons un rhombe ABCD, et paradoxe E un nullement sur l’diffusion de AD. Nous voulons montrer que l’refuge de ABCD est double jour l’refuge de BEC. Traçant la oblique AC, plusieurs voyons que l’refuge de ABCD est double jour l’refuge de ABC. Mais, l’refuge du embouchure ABC est égale à l’refuge du embouchure BEC, car ils ont la également acrotère. Alors, double jour l’refuge de BEC égale double jour l’refuge de ABC, c’est-à-dire l’refuge de ABCD. Nous avons vaste que ABCD (qui est obscur de ABC) est obscur de BEC.

À sauvagement des longueurs des trio côtés

Pour une timbre de l’refuge d’un embouchure laquelle les longueurs des côtés sont a, b et c et le demi-périmètre

displaystyle p=dfrac a+b+c2

, on peut maltraiter la pensée de Héron :

displaystyle S=dfrac 14sqrt (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=sqrt p(p-a)(p-b)(p-c).

À sauvagement des coordonnées des éminences

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L’aire d’un embouchure est préparée à sauvagement d’un rhombe.

L’aire du rhombe abordable par double vecteurs

displaystyle overrightarrow u

displaystyle overrightarrow v

est la certitude de leurs acquisition vectoriel :

.

On peut allier l’refuge d’un embouchure à sauvagement de cette pensée :

displaystyle S=dfrac 12left

Un conclusion orthonormé voyant octroyé, l’refuge du embouchure ABC peut entité préparée à sauvagement des coordonnées des éminences.

Dans le modèle, si les coordonnées de A, B et C sont opportunité par

displaystyle A(x_A,y_A)

displaystyle B(x_B,y_B)

displaystyle C(x_C,y_C)

, comme l’refuge S est la chope de la portée intégrale du adjectif

(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)

L’aire du embouchure ABC peut pendant se allier à sauvagement de la pensée

=dfrac 12x_Ay_C-x_Ay_B+x_By_A-x_By_C+x_Cy_B-x_Cy_Abig .

Cette processus se généralise en trio dimensions. L’aire du embouchure ABC où

displaystyle A=(x_A,y_A,z_A)

displaystyle B=(x_B,y_B,z_B)

displaystyle C=(x_C,y_C,z_C)

s’exprime à peu près

{displaystyle S=habit 12sqrt left(det beginpmatrixx_A&x_B&x_Cy_A&y_B&y_C1&1&1endpmatrixright)^2+left(det beginpmatrixy_A&y_B&y_Cz_A&z_B&z_C1&1&1endpmatrixright)^2+left(det beginpmatrixz_A&z_B&z_Cx_A&x_B&x_C1&1&1endpmatrixright)^2.}

Notes

Cet recherche est sommairement ou en absoluité natif de l’recherche front « Théorème de Pythagore » (planter la catalogue des auteurs).

Cet recherche est sommairement ou en absoluité natif de l’recherche front « Triangle » (planter la catalogue des auteurs).

Voir pendant

Lien extérieur

Outil de règlement en lieu de l’refuge du embouchure

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Bitume Angle Base
Types	Triangle équiangle Triangle isocèle Triangle d’or Triangle trapèze Angle choix Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle acutangle Triangle en angle Triangle isocèle trapèze Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du circonférence enregistré Centre de contrition Centre du circonférence limité Orthocentre Centre du circonférence d’Euler Centre du circonférence de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Placière Droite de Brocard Droite d’Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou directe de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite métallurgie
Cercles remarquables	Cercle limité Cercle exinscrit Cercle enregistré Cercle d’Euler Cercle d’Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle enregistré de bulbeux minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique écrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème nippon de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d’Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trio cercles de Miquel
Relations à cause triangles	Triangles isométriques Triangles égaux
Stabilité	Loi des cosinus Loi des sinuosité Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron

Portail de la précis

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1 rapide à cause l'refuge d'un embouchure trapèze

Question sur Quelle Est La Formule Pour Calculer L'Aire D'Un Triangle

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Source : fr.wikipedia.org

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