En mathématiques, et puis littéralement en calcul, la alvéole euclidienne ou alvéole plénière est une efficacité de facture qui, à paire complets naturels appelés dividende et diviseur, associe paire contradictoires complets appelés ratio (ratio euclidien s’il y a périphrase) et appoint. Initialement définie à cause paire complets naturels non nuls, sézigue se généralise aux complets relatifs. Cette alvéole est au fesses des théorèmes de l’calcul grossière et de l’calcul modulaire qui commerce des congruences sur les complets.

La alvéole euclidienne s’étend pour à d’contradictoires anneaux, quasiment icelui des polynômes, dits anneaux euclidiens.

En calcul

Première accédé

La alvéole euclidienne permet de assurer à des questions du trempe accompagnant :

• Distribution loyal : Comment assigner comme 30 billes pendant 7 âmes ?

On certifie 1 bolide à chaque personne des 7 âmes. On a donc prêté 7 billes. Il appoint 23 billes.

On recommence en distribuant aussi 1 bolide à chaque personne des 7 âmes. Celles-ci possèdent donc chaque personne 2 billes et il en appoint 16 à cause le sac…

Finalement, quelque créature possède 4 billes et il en appoint 2 à cause le sac.

On dit donc que la alvéole de 30 par 7 a à cause ratio 4 et à cause appoint 2 et l’on livre :

$displaystyle 30=7times 4+2,$

On aurait pu, à quelque abri, mouler :

$displaystyle 30=7times 1+23,qquad 30=7times 2+16,qquad 30=7times 3+9$

.

Ces égalités sont exactes malgré ne correspondent pas à une alvéole euclidienne, icelle épais à « épuiser » les billes pendant les joueurs. La commercialisation ne sera plénière que puis le rassemblement de billes restantes sera voisin au rassemblement de joueurs, ici 7. Le commencement assimilable de cette alvéole abrutissement que l’on puisse articuler un rassemblement par 0.

Origine fameux

Le nom de alvéole euclidienne est un vénération bilan à Euclide qui purisme les fondements de l’calcul à cause ses Éléments. Mais sézigue apparaît abusivement tôt à cause l’allégorie des mathématiques. Caveing en signale la cohorte à cause les mathématiques égyptiennes où il s’agit par collection de rivaliser 30 puis l’entretien 7. Par absent, la cohorte d’un appoint a réglé les arpenteurs égyptiens à fouiller le existence de tronçon. Une mine ressemblant existe à cause les mathématiques babyloniennes. On retrouve cette efficacité décrite à cause les mathématiques chinoises puis un procédure près du religion avant-gardiste épais à harponner une alvéole. Les Chinois ont un mot à cause indiquer le dividende, le diviseur et le ratio en confluent de facture.

Théorème de la alvéole euclidienne

Dans les complets naturels

Le théorème de la alvéole euclidienne à cause les complets naturels (les nombres complets chargé à sauvagement de 0) s’énonce par conséquent.

À paire complets a ≥ 0 et b > 0, on associe de sorte personnel paire complets naturels, le ratio q et le appoint r, qui vérifient :

• a = b × q + r ;
• r < b.

Autrement dit : il existe un personnel tyrannique indigène q tel que

• 0 ≤ a – bq < b

ou aussi

• bq ≤ a < b(q + 1).

Cet tyrannique q est affable par : bq est le puis étendu plurielle de b voisin ou correct à a.

Extension aux complets relatifs

Le théorème de la alvéole euclidienne peut s’intensifier aux complets relatifs de la ordre suivante.

À paire complets relatifs a et b, b ≠ 0, on associe de sorte personnel un tyrannique imparfait q (le ratio) et un tyrannique indigène r (le appoint) qui vérifient des opportunité pareils (celle-là à cause le appoint doit irréel précisée) :

• a = b × q + r ;
• 0 ≤ r < |b|.

Par collection

• la alvéole de –17 par 5 certifie –17 = 5 × (–4) + 3, O.K. un ratio de –4 et un appoint de 3.
• la alvéole de 17 par –5 certifie 17 = (–5) × (–3) + 2, O.K. un ratio de –3 et un appoint de 2.
• la alvéole de –17 par –5 certifie –17 = (–5) × 4 + 3, O.K. un ratio de 4 et un appoint de 3.

En restreignant ce théorème aux complets positifs ou nuls, on obtient capital le théorème rétrospectif à cause les complets naturels. Il s’en déduit en distinguant accompagnant les appels de a et b, ou se démontre sauvagement de sorte ressemblant.

Cette sens assure l’originalité du ratio et du appoint malgré ne correspond puis à la sens avant-première de la alvéole à cause un arrangement euclidien à l’associé d’un stathme euclidien qui donnerait la sens suivante :

À paire complets relatifs a et b, b ≠ 0, on associe chaque nettoyage d’complets relatifs q (le ratio) et r (le appoint) vérifiant

• a = b × q + r ;
• 0 ≤ |r| < |b|.

Avec cette clef puis avant-première, on aurait pour

• à cause la alvéole de –17 par 5, –17 = 5 × (–3) + (–2), O.K. un ratio de –3 et un appoint de –2.

C’est cette non-unicité qui explique le irréalité non-univoque de sa travesti en œuvre infographie.

Utilisation

La alvéole euclidienne est un anecdotique de support de l’calcul.
Elle permet de conditionner le PGCD de paire nombres en utilisant l’procédure d’Euclide. Elle est itou utilisée à cause mouler un tyrannique en support b.

Elle est à l’noyau d’une branchage de l’calcul, l’calcul modulaire, à cause auxquelles on s’faux non pas au ratio de la alvéole de a par n malgré à son appoint. On dit que paire nombres a et a’ sont congrus confruence n si et pendant s’ils ont assimilable appoint à cause la alvéole par n. Cette détention se transmet à la groupé et au denrée :

si a et a’ ont assimilable appoint confruence n et s’il en est moyennant de b et b’, donc ab a assimilable appoint que a’b’ confruence n et a + b a assimilable appoint que a’ + b’ confruence n.

Cette communicabilité permet le augmentation d’une calcul sur les grigri et la préparation d’un outillage neuf, l’arrangement ℤ/nℤ.

Mise en œuvre infographie de la alvéole euclidienne

Les divisions entières peuvent oindre incessamment des surprises lorsqu’on utilise les prescriptions intégrées à cause les langages de barreaux ou les logiciels de facture, en agité puis le diviseur ou le dividende sont négatifs.

Ainsi, à cause le tableur Excel, la allant « MOD » a à cause outil de acérer le appoint d’une alvéole euclidienne. La conformisme gâtée par le copywriter consiste à confondre habituellement un appoint du assimilable initiales que le diviseur. Dans une alvéole de libelle de facture, la apophtegme « =MOD(-201;23) » a à cause conséquence le appoint 6 de la alvéole de –201 par 23, légitimement à la sens plus avant, malgré la apophtegme « =MOD(10;-3)» a à cause conséquence le appoint -2 . En tonalité de macro VBA Excel, l’manoeuvre « R = -201 MOD 23 » certifie à cause conséquence –17, O.K. l’contraire du appoint de la alvéole de 201 par 23.
En tonalité C, le ratification du initiales du appoint et de la préférence du ratio, à cause le cas de diviseur ou dividende photocopie, dépend de la tendance sur auxquelles le calepin fonctionne. D’autre ticket, il faut identifier que l’manoeuvre qui prête le ratio est miss correcte et cohérente puis le appoint, ce qui n’est pas habituellement fondé^{[réf. nécessaire]}.

Généralisations

Division euclidienne polynomiale

Si les polynômes ont à cause coefficients des éléments d’un abri commutatif K, on peut expliciter une alvéole euclidienne sur les polynômes traitée alvéole escortant les puissances décroissantes.

À paire polynômes A et B à coefficients à cause un abri K, puis B non nul, la alvéole euclidienne associe un ratio Q et un appoint R, globaux paire polynômes, vérifiant :

• 
  $displaystyle A=BQ+R$

   ;

• 
  $displaystyle operatorname deg (R)<operatorname deg (B).$

  

L’unicité d’un nettoyage (Q, R) vérifiant ces propriétés est sauvegardée par les lois d’arrangement (unitarien), en indemnité il est confirmé que K O.K. un abri à cause que l’séparation le O.K. pour. Sinon la alvéole est aussi incessamment présentable, si par collection le ratio du monôme haut de B est correct à 1, ou puis ordinairement si ce ratio est inversible.

Anneau euclidien

La annexe d’une alvéole euclidienne à cause un arrangement impartial A nécessite l’séparation d’une empressement ν de A à cause ℕ traitée stathme euclidien et vérifiant, à cause globaux éléments a et b non nuls

• si b divise a donc ν(b) ≤ ν(a) ;
• si b ne divise pas a donc il existe q et r à cause A vérifiant les paire propriétés
  • a = bq + r
  • ν(r) < ν(b).

S’il existe un stathme euclidien sur l’arrangement A, l’arrangement est accueilli arrangement euclidien. Ainsi à cause l’arrangement des complets relatifs, le stathme favori trouvait la préférence achevée et à cause icelui des polynômes, le stathme trouvait le tige du polynôme.

La sens d’un stathme euclidien diffère d’un barde à l’changé. Les procès-verbaux logiques pendant les contradictoires définitions sont abordés à cause l’agence critique.

Algorithmes de facture

On s’faux au facture de alvéole euclidienne de paire complets, connaissant au préexistant les études d’adjonction, de amenuisement, de épithélioma, et de ressemblance, pendant des nombres complets. Il est gracieux de récupérer le aléa à paire complets positifs, et on se étréci à ce cas.

Les algorithmes décrits plus bas calculent le ratio de la alvéole euclidienne ; il est capital accueillant que le appoint s’en déduit. Attention, le belligérant ne serait pas inévitable.

La initiale processus, naturelle malgré première, sollicitation énormément très de gravelle à cause des grands nombres. On assidue comme paire méthodes courantes, de accident adéquat : la initiale convient à cause des gravelle en support 2, et par conséquent à cause une barreaux infographie ; la adjoint processus, totalement conforme, est une acclimatation à cause la support de compte usuelle, la support décimale, et convient par conséquent à cause des gravelle manuel. C’est l’procédure placard à l’palestre.

Procédure première

C’est la processus décrite par Euclide à cause sa coquetterie d’un pgcd. Elle procède par soustractions successives. Pour consommer la alvéole euclidienne de a par b, on soustrait b à a, et on recommence autant que ceci est présentable.

On créé par conséquent une série calcul seulement décroissante (a_i ) de excuse –b :

$displaystyle a_0=a$

 ;

$displaystyle a_i+1=a_i-b=a-(i+1)times b$

.

Il existe par conséquent un puis ordurier tyrannique I tel que

$displaystyle a_I<b$

, c’est-à-dire vérifiant

$displaystyle a-Itimes b<bleq a-(I-1)times b$

,

ce qui s’livre aussi

$displaystyle 0leq a-Itimes b<b$

.

Le ratio de la alvéole cherchée est par conséquent I, et le appoint

$displaystyle a-Itimes b$

.

Le rassemblement de pas de cet procédure est par conséquent I, c’est-à-dire la marge plénière de

$displaystyle habit ab$

 ; quelque abri requiert une amenuisement et une ressemblance. La accident de facture accroissement linéairement puis a, c’est-à-dire exponentiellement puis la ampleur de a — si l’on convient de rivaliser la ampleur d’un tyrannique par le rassemblement de chiffres que requiert son augmentation temporaire (ou décimal si on préfère, ceci ne modifie les choses que d’une continuelle), cette ampleur est de l’variété du logarithme de l’tyrannique.

Procédure temporaire

Ce commencement est à l’noyau de la fabriquer de la alvéole à cause l’Égypte anachronique. Il s’affluence sur une annexe à l’puis d’une épithélioma égyptienne et consiste à fourrer un étiquette donnant les puissances de 2 et à elles denrée par b. On s’pique adéquat devant de envisager a à cause la moment carte. On essaie comme de charpenter le puis étendu plurielle de b voisin à a en sommant certaines cases de la moment carte. En sommant les cases correspondantes de la initiale carte on obtient le ratio de la alvéole.

Ainsi à cause articuler 93 par 7 on remplit le étiquette accompagnant :

1	7
2	14
4	28
8	56

Pour fonder le puis étendu plurielle de 7 voisin à 93, il faut confondre

• 56 ;
• 28 ce qui certifie à cause groupé 56 + 28 = 84 ;
• pas 14 car 84 +14 dépasse 93 ;
• 7 ce qui certifie à cause groupé 84 + 7 = 91 ;

le ratio est par conséquent 8 + 4 + 1 = 13 et le appoint est 2.

L’algorithme de carrefour accompagnant utilise le assimilable commencement malgré magot la passage discours car il est cavité de stocker globaux les puissances de 2 et à elles denrée par b.

Au arête de mesurer quasiment à cause la processus première, globaux les complets depuis 0 en attendant de apostasier sur le bon ratio, on va arriver par discerner fixement un tyrannique laquelle on sera sûr qu’il est puis étendu que le ratio cherché ; à cause la bibliographie consommée de quotients possibles restants, on fera une coquetterie endémique.

Le meilleur facture se action généralement en prévu la série logique

$displaystyle 2^n$

. Tant que

$displaystyle 2^ntimes bleq a$

, on incrémente n de 1 à quelque abri. Soit N le puis ordurier tyrannique tel que

$displaystyle 2^Ntimes b>a$

.

Le rassemblement d’étapes à cause discerner cet tyrannique est de l’variété de

$displaystyle log _2left(habit abright)$

. Chacune de ces étapes ne sollicitation qu’une épithélioma par paire (aussi puis gracieux qu’une adjonction, à cause une abécédaire temporaire), et une ressemblance.

Pour le adjoint facture, on créé paire suites

$displaystyle (aleph _n)$

et

$displaystyle (beta _n)$

 ; l’une stockera des minorants du ratio cherché, l’changé des majorants stricts. On purisme par conséquent

$displaystyle aleph _0=2^N-1$

et

$displaystyle beta _0=2^N$

,

lorsque par répétition :

si

$displaystyle habit aleph _n+beta _n2times bleq a$

, donc on peut vieillir le minorant, et on purisme par conséquent

$displaystyle aleph _n+1=habit aleph _n+beta _n2$

et

$displaystyle beta _n+1=beta _n$

 ;

en indemnité, si

$displaystyle habit aleph _n+beta _n2times b>a$

, on peut vieillir le majorant, et on purisme

$displaystyle beta _n+1=habit aleph _n+beta _n2$

, et

$displaystyle aleph _n+1=aleph _n$

.

On montre-bracelet gaiement par répétition qu’à quelque abri n de ce adjoint facture,

$displaystyle aleph _n$

et

$displaystyle beta _n$

sont paire complets, globaux paire pluraux de

$displaystyle 2^N-1-n$

et laquelle la caractéristique vaut

$displaystyle 2^N-1-n$

. Cette mythe permet surtout de soumettre que les suites sont capital définies jusqu’à

$displaystyle n=N-1$

, et que

$displaystyle aleph _N-1$

et

$displaystyle beta _N-1$

ne diffèrent que de

$displaystyle 1$

 ; vu qu’ils sont respectivement un minorant prolifique et un majorant rigoureux du ratio,

$displaystyle aleph _mathrm N -1$

est le ratio cherché.

Le rassemblement acmé d’étapes à cause ce facture est de l’variété de

$displaystyle log _2left(habit abright)$

— une des dichotomies a pu capituler le bon ratio devant la (N – 1)-ième abri, c’est le cas d’équilibre de la ressemblance, lequel cas on peut choquer l’procédure devant —, qui chaque personne n’exige qu’une adjonction, une alvéole par paire (gracieux en abécédaire temporaire, ce n’est indubitablement pas une alvéole euclidienne discrète), une épithélioma (qui peut irréel évitée, en manageur puis de variables), et une ressemblance.

En concaténant les résultats des paire gravelle, on voit que cet procédure a une accident qui accroissement logarithmiquement puis

$displaystyle habit ab$

, et par conséquent linéairement puis la ampleur de a. L’amélioration est par conséquent abusivement lactée.

Procédure décimale

C’est la processus utilisée à cause les civilisations détenant adopté le religion décimal. Elle est à l’noyau de la fabriquer enseignée à cause les écoles primaires à cause harponner une alvéole. Elle est assidue en Chine abusivement tôt. Elle consiste à consommer la alvéole en novice par les poussée forts.

La processus asiate assidue l’procédure à cause un étiquette à trio paliers :

• à cause la initiale direction se constituera holà le ratio ;
• à cause la moment direction sera livre le dividende qui évolue au confluent du facture ;
• la tierce direction est traditionnelle à installer le diviseur.

On commence par installer le diviseur le puis à paralysie présentable et on effectue la alvéole en ne s’guerrier pas de ce qui est à spontanée, le ratio se passage à cause la initiale direction, le appoint de cette initiale alvéole vient supplanter les chiffres correspondants du dividende et on recommence la efficacité.

Ainsi à cause articuler 3 564 par 17, on remplit le étiquette de la ordre suivante :

				Quotient
3	5	6	4	Dividende
1	7			Diviseur

et on effectue la alvéole de 35 par 17, ratio 2 appoint 1

	2			Quotient
	1	6	4	Dividende
				Diviseur

On déplace le diviseur sur la spontanée jusqu’à ce qu’une découverte alvéole O.K. présentable.

	2			Quotient
	1	6	4	Dividende
		1	7	Diviseur

On effectue la alvéole de 164 par 17, ratio 9 appoint 11.

	2		9	Quotient
		1	1	Dividende
				Diviseur

On obtient par conséquent : 3 564 volonté par 17 a à cause ratio 209 et à cause appoint 11.

La énoncé avant-première de cet procédure est la suivante : O.K. paire complets naturels a et b non nul. On tranchée à consommer la alvéole de a par b.

On commence par discerner la puis impalpable totalitarisme de 10 similaire que

$displaystyle bcdot 10^N_1+1>a$

 ; d’alors le théorème de alvéole euclidienne, il existe donc un personnel tyrannique

$displaystyle 0leq q_1<10$

tel que :

$displaystyle q_1times 10^N_1times bleq a<(q_1+1)times 10^N_1times b$

.

On purisme donc

$displaystyle a_1=a-q_1times 10^N_1times b$

et on effectue la alvéole de a₁ par b. L’inéquilibre précédente montre-bracelet que la initiale totalitarisme de 10 similaire que

$displaystyle 10^N_2times b$

excèdera a₁ sera seulement puis impalpable que

$displaystyle 10^N_1+1$

 ; on la expression

$displaystyle 10^N_2+1$

.

On créé par conséquent une série d’complets naturels

$displaystyle (N_i)$

seulement décroissante ; sézigue vaut par conséquent 0 à un évident suite. On créé la série d’complets

$displaystyle 0leq q_i<10$

associée de la assimilable sorte qu’on a créé

$displaystyle q_1$

. Le ratio cherché sera

$displaystyle sum _iq_i10^N_i$

en activité l’différence qui certifie

$displaystyle q_r$

à cause la initiale hasard de

$displaystyle N_r=0$

sera :

$displaystyle 0leq a-btimes sum _iq_i10^N_i<10^N_rtimes b=b$

,

ce qui est capital la sens du ratio.

On mythe que cette processus se divise quasiment la précédente en paire étapes : d’accueil une coquetterie d’une totalitarisme marre continuelle, ce qui sollicitation à neuf un rassemblement de facture logarithmique en a, c’est-à-dire linéal en la ampleur de a ; comme un facture de globaux les coefficients

$displaystyle q_i$

associés aux contradictoires puissances de 10 inférieures à la totalitarisme marre continuelle reconnue. Pour quelque facture de

$displaystyle q_i$

, l’procédure sollicitation en action un facture de alvéole euclidienne courtier ; malgré le ratio est à vider pendant chez les complets de 0 à 9 ; il se action par conséquent fixement en utilisant des tables.

Notes et références

Articles connexes

À débiter devant

Divisibilité

À débiter alors

Arithmdisetteux modulaire

Autres

Division

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