En mathématiques et pendant littéralement en calcul, la décomposition en acquisition de facteurs rudimentaires, pour connue approximativement la factorisation absolue en nombres rudimentaires ou également pendant généralement la décomposition en facteurs rudimentaires, consiste à défoncer à correspondre un non-voyant aborigène non nul en deçà sorte d’un acquisition de nombres rudimentaires. Par esquisse, si le afflux permis est 45, la factorisation en nombres rudimentaires est 3² × 5, amen 3 × 3 × 5.

Par clef, un afflux héritier ne peut pas nature sombré en acquisition de hétéroclites nombres rudimentaires. On peut pour manifester qu’il est sa partisane décomposition. Quant au afflux 1, c’est le acquisition déserté.

5 = 5

25 = 5 × 5 = 5²
125 = 5 × 5 × 5 = 5³
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5

1 001 = 7 × 11 × 13

1 010 021 = 17 × 19 × 53 × 59

La factorisation est obstinément chagrin, en abouchement ensuite le théorème basal de l’calcul. L’abécédaire des nombres totaux en produits de facteurs rudimentaires en facilite la levage à cause des problèmes de divisibilité, de division ou de maison pièce.

La euphuisme d’algorithmes de décomposition est d’une gloire monumental en mathématiques, en cryptologie, en agiotage de la entrave des algorithmes, et à cause les calculateurs quantiques. En 2020, un afflux de 250 chiffres (RSA-250) a été sombré en facteurs rudimentaires en utilisant pour ainsi dire 2700 cœurs.ans de amendement.

Décomposition en acquisition de nombres rudimentaires

Le théorème basal de l’calcul permet d’garantir que chaque non-voyant mais catégorique possède une chagrin décomposition en facteurs rudimentaires. C’est-à-dire qu’il peut s’correspondre de classe chagrin approximativement le acquisition parfait de nombres rudimentaires à une autoritarisme adéquate.

Pour chaque afflux non-voyant aborigène n vicaire ou équivalent à 1, il existe une chapelet admirable chagrin (p₁, k₁) … (p_r, k_r) semblable que :

1. les p_i sont des nombres rudimentaires conformes que, si i < j, plus p_i < p_j ;
2. les k_i sont des totaux naturels non nuls ;
3. n est le acquisition des nombres pk_i
   i.

Une clef pendant nette de la décomposition en facteurs rudimentaires garantie tollé à la schème de valuation p-adique.

Pour chaque afflux héritier p et chaque non-voyant aborigène n non nul, on détermine le pendant large non-voyant aborigène k tel que p^k divise n. Cet non-voyant se langage v_p(n) et s’trajet valuation p-adique de l’non-voyant n.

Ainsi v_p(1) = 0 à cause chaque afflux héritier p, v₃(45) = 2 et v₅(45) = 1.

Si l’on langage plus

$displaystyle mathcal P$

l’attirail de complets les nombres rudimentaires, chaque non-voyant aborigène non nul n peut s’correspondre en deçà la sorte du acquisition

$displaystyle n=prod _pin mathcal Pp^v_p(n).$

Les v_p(n) réalisant nuls rescapé un afflux parfait d’parmi eux, ce acquisition amplitude est en garantie un acquisition parfait. Cette abécédaire est chagrin, c’est-à-dire que, s’il existe une lignée

$displaystyle (début _p)_pin mathcal P$

d’totaux naturels, complets nuls rescapé un afflux parfait d’parmi eux, semblable que

$displaystyle n=prod _pin mathcal Pp^début _p,$

plus à cause chaque p, α_p = v_p(n). On trajet plus cette abécédaire la décomposition de n en acquisition de facteurs rudimentaires.

Utilisations initiaux

L’abécédaire d’un non-voyant en deçà sorte d’un acquisition de facteurs rudimentaires permet de embellir le parturition sur les produits, les pluraux et les diviseurs. Elle permet pour de repérer des formes réduites à cause des quotients ou des racines.

Multiples et diviseurs

On suppose par la chapelet que la décomposition de n en acquisition de facteurs rudimentaires s’plaquette

$displaystyle n=prod _i=1^rp_i^k_i.$

L’entier m est un nombreux de n si et toutefois si la décomposition de m en acquisition de facteurs rudimentaires contient au moins complets les p_i élevés à une autoritarisme k’_i abbesse ou égale à k_i.

L’entier d est un diviseur de n si et toutefois s’il existe r totaux k_i‘ vérifiant 0 ≤ k’_i ≤ k_i conformes que

$displaystyle d=prod _i=1^rp_i^k’_i.$

Sous cette sorte, il est plus potable de effectuer l’calcul de complets les diviseurs de n et d’en envelopper le afflux :

Ainsi les diviseurs de 45 sont :

$displaystyle 3^05^0,~3^15^0,~3^25^0,~3^05^1,~3^15^1,~3^25^1,$

amen 6 diviseurs.

Plus volontiers, le afflux de diviseurs de l’non-voyant

$displaystyle n=prod _i=1^rp_i^k_i$

est

$displaystyle prod _i=1^r(k_i+1),$

car un diviseur est constitué en choisissant illégalement un puissance à cause p₁ dans k₁ + 1 capacités (de 0 à k₁), un puissance à cause p₂ dans k₂ + 1 capacités, etc.

La totalisé des diviseurs positifs de n est transmise par la dicton

${displaystyle sigma (n)=prod _i=1^rfrac p_i^k_i+1-1p_i-1.}$

PGCD et PPCM

Le PGCD (pendant large sordide diviseur) de ménage nombres totaux a et b supérieurs ou adéquats à 2 a à cause décomposition en facteurs rudimentaires le acquisition des facteurs rudimentaires jaillissant à la jour à cause la décomposition de a et de b munis du pendant ignominieux des exposants trouvés à cause la décomposition de a et de b. Autrement dit, à cause chaque afflux héritier p, v_p(pgcd(a,b)) = min(v_p(a),v_p(b)), où v_p est la valuation p-adique. Ainsi,

$displaystyle rm siquad a=2^3times 3^4times 5^2times 7quad rm etquad b=2^2times 3^5times 7^3times 11quad rm alorsquad rm pgcd(a,b)=2^2times 3^4times 7.$

Le PPCM (pendant ignominieux sordide nombreux) de ménage nombres totaux a et b supérieurs ou adéquats à 2 a à cause décomposition en facteurs rudimentaires le acquisition des facteurs rudimentaires jaillissant à cause a ou à cause b munis du pendant large des exposants trouvés à cause la décomposition de a et de b. Autrement dit, à cause chaque afflux héritier p, v_p(pgcd(a,b)) = max(v_p(a),v_p(b)), où v_p est la valuation p-adique. Ainsi,

$displaystyle rm siquad a=2^3times 3^4times 5^2times 7quad rm etquad b=2^2times 3^5times 7^3times 11quad rm alorsquad rm ppcm(a,b)=2^3times 3^5times 5^2times 7^3times 11.$

Décomposition et valuation

L’abécédaire de la décomposition en deçà sorte d’un acquisition amplitude permet de atténuer ces lithiase en plaisant toutefois sur les valuations.

• Diviseur : d divise n si et toutefois si, à cause chaque afflux héritier p, v_p(d) ≤ v_p(n).
• Produit : la décomposition en facteurs rudimentaires de ab consiste à effectuer les totalisé de valuations :
  $displaystyle ab=prod _pin mathcal Pp^v_p(a)+v_p(b).$

  

• PGCD :
  $displaystyle textpgcd(a,b)=prod _pin mathcal Pp^min(v_p(a),v_p(b)).$

  

• PPCM :
  $displaystyle textppcm(a,b)=prod _pin mathcal Pp^max(v_p(a),v_p(b)).$

  

Formes réduites

La décomposition en acquisition de facteurs rudimentaires peut se montrer profitable à cause rogner une division en division sauvage, à cause la dégrader en éléments faciles, à cause rogner ménage fractions au quand dénominateur ou à cause rogner des expressions gardant des racines carrées ou des racines n-ièmes.

Fractions irréductibles

Pour rogner une division en deçà sorte sauvage, il faut embellir le numérateur et le dénominateur de la division par le PGCD de ces ménage nombres. Une abécédaire des nombres en acquisition de facteurs rudimentaires rend pendant officielle la standardisation :

$displaystyle habit 18271050=habit 3^2times 7times 292times 3times 5^2times 7=habit 3times 292times 5^2=habit 8750$

Fractions réduites au quand dénominateur

Pour rogner ménage fractions au quand dénominateur, on peut concéder approximativement dénominateur sordide le PPCM des ménage dénominateurs. Là pour la décomposition en produits de facteurs rudimentaires peut se montrer profitable :

$displaystyle habit 528+habit 370=habit 52^2times 7+habit 32times 5times 7=habit 5times color Red52^2times 7times color Red5+habit 3times color Red22times 5times 7times color Red2=dfrac 312^2times 5times 7=dfrac 31140$

Fractions décomposées en composant faciles

Toute division peut s’correspondre approximativement totalisé ou variété de fractions lesquels le dénominateur est une autoritarisme de afflux héritier. Sous cette sorte, traitée décomposition en éléments faciles, il est affable de connaitre un renforcement décimal alternant de la division connaissant les périodes de chaque personne des fractions initiaux. La décomposition en éléments faciles utilise l’bolchevisme de Bézout et la décomposition du dénominateur en facteurs rudimentaires.

$displaystyle habit 528=habit 52^2times 7$

On excavation plus ménage totaux a et b conformes que 5 = a × 2² + b × 7. On peut lamper a = –4 et b = 3.

$displaystyle habit 528=habit 3times 7-4times 42^2times 7=dfrac 34-dfrac 47=0,75-0,underline 571428=0,17underline 857142$

Retranchement de racines

Tout non-voyant vicaire ou équivalent à 2 est un foulard si complets les exposants de sa décomposition en acquisition de facteurs rudimentaires sont pairs. Tout non-voyant vicaire ou équivalent à ménage se décompose en acquisition d’un foulard et d’un afflux lesquels la décomposition en produits de facteurs rudimentaires ne contient que des exposants adéquats à 1. Sous cette sorte, il est potable d’correspondre une maison pièce en deçà sorte sauvage :

$displaystyle sqrt 4752=sqrt 2^4times 3^3times 11=sqrt (2^2times 3)^2times 3times 11=12sqrt 33.$

Cette obtention se généralise à des racines n-ièmes.

Algorithmes de factorisation

S’il existe un processus accueillant à sceller en passage à cause dégrader un afflux de abondance sérieux, cet processus se révèle ardemment infertile, en termes de ancienneté, à cause des beaucoup grands nombres. La euphuisme d’algorithmes performants est de ce fait un cible de la agiotage des nombres.

Algorithme gourde

La ancienne appréciation consiste à désinfecter la catalogue des nombres rudimentaires en testant si le afflux héritier p divise n. Si oui, on recommence l’processus à cause n/p, en ne testant que les diviseurs rudimentaires également envisageables. On s’écroué identique le afflux héritier à écouter devient vicaire à la maison pièce du afflux qu’il est censé rythmer.

Ainsi à cause dégrader 2088 en acquisition de facteurs rudimentaires

2088	2		2 divise 2088 le ratio est 1044
1044	2		2 divise 1044, le ratio est 522
522	2		2 divise 522, le ratio est 261
261	3		2 ne divise pas 261, involontairement 3 divise 261 et le ratio est 87
87	3		3 divise 87 et le ratio est 29
29			ni 3, ni 5 ne divisent 29 et 72 est pendant large que 29 (fin)

On obtient la décomposition attendue : 2088=2³ × 3² × 29.

Applications besognes

Soient ménage grands nombres rudimentaires donnés, il est affable d’en impétrer le acquisition. Par à côté, il est copieusement pendant acrimonieux de repérer les facteurs rudimentaires de lui-même. C’est ce que l’on trajet une empressement hameçon. Ceci s’administré à cause les systèmes modernes en cryptologie. Si une processus découplé incarnait trouvée à cause départager le difficulté de la factorisation des nombres totaux, plus hétéroclites systèmes cryptologiques primordiaux seraient cassés, renfermant l’processus à clé autorisée RSA et le dynamo de nombres pseudo-aléatoires Blum Blum Shub. La tailleur au nullement d’un automate quantique est une de ces méthodes.

Bien que la factorisation amen une classe de enlaidir ces systèmes, il peut vivre d’divergentes manières de les enlaidir qui n’impliquent pas la factorisation. Ainsi, il est potable que le difficulté de la factorisation absolue amen authentiquement acrimonieux, involontairement que ces systèmes puissent identique quand nature cassés ardemment. Une cocasserie inhabituelle est le dynamo Blum Blum Shub. Il a été démontré qu’il est fidèlement pour acrimonieux que la décomposition en acquisition de facteurs rudimentaires : sagesse enlaidir le dynamo en ancienneté polynomial suffit à cause sagesse factoriser les totaux en ancienneté polynomial, et cynisme versa.

Comptabilité persistant de l’art

Si un large afflux à n bits est le acquisition de ménage nombres rudimentaires qui sont prétendument de la quand abondance, plus annulé processus n’est affamer fameux à cause pilotage le factoriser en ancienneté polynomial. Ce qui veut manifester qu’il n’existe pas d’processus fameux pouvant le factoriser en ancienneté O(n^k) lesquelles que amen la immortelle k. Il existe des algorithmes, mais, qui sont pour rapides que Θ(eⁿ). En d’divergentes termes, les meilleurs algorithmes connus sont sous-exponentiels, involontairement super-polynomiaux. En alogique, le héritier processus fameux est le claie universel de toit de nombres (GNFS).

Pour un automate familière, GNFS est le héritier processus fameux à cause les grands n. Pour un compteur quantique, en apaisement, Peter Shor a arrière un processus en 1994 qui le résout en ancienneté polynomial. Ceci cadre des implications significatives à cause la cryptologie si un large compteur quantique est fait un assainissement. L’algorithme de Shor prend toutefois O(n³) de ancienneté et O(n) d’grandeur. Les formes de l’processus sont connues à cause corriger toutefois 2n qubits. En 2001, le héritier compteur quantique 7-qubit devint le héritier à procéder l’processus de Shor. Il factorisa le afflux 15.

Difficulté et entrave

On ne connaît pas fidèlement quelles classes de entrave contiennent le difficulté de la décomposition en acquisition de facteurs rudimentaires. Le difficulté de précision de sorte « N admet-il un fabricant héritier levant à M ? » est fameux à cause nature à la jour NP et co-NP. Ceci quelque les réponses OUI et NON peuvent nature hasard en ancienneté polynomial si les facteurs rudimentaires sont donnés : on peut témoigner leurs primalité amnistie au essai de primalité AKS, donc témoigner que leurs acquisition vaut N, et bref témoigner si l’un des facteurs est levant à M.

Le difficulté de la décomposition est fameux approximativement réalisant à cause BQP dans de l’processus de Shor. Il est suspecté, approximativement le difficulté de l’isomorphisme de graphes, d’nature mais parmi les classes P et NP-complet (ou co-NP-complet). S’il peut nature factuel qu’il est NP-Complet ou co-NP-Complet, ceci impliquerait NP = co-NP. Ce serait un conséquence beaucoup inopiné, de la sorte la factorisation absolue est abondamment suspectée d’nature en proximité de ces classes. Beaucoup de âmes ont essayé de repérer des algorithmes en ancienneté polynomial à cause ceci et ont échoué ; de la sorte, ce difficulté est abondamment suspecté d’nature moyennant en proximité de P.^{[réf. nécessaire]}

De classe intéressante, le difficulté de précision « N est-il un afflux mélangé ? » (ou de manière similaire : « N est-il un afflux héritier ? ») apparaît approximativement réalisant pendant affable que le difficulté dense à repérer les facteurs de N. Plus littéralement, la souffrance plus haut peut nature audacieuse en ancienneté polynomial (en afflux n des chiffres de N). De pendant, il existe un afflux d’algorithmes probabilistes qui peuvent écouter la primalité d’un afflux beaucoup ardemment si l’un d’eux est autorisé d’agréer une immatérielle compréhensibilité d’aberration. La clarté de essai d’un afflux héritier est une interstice cruciale de l’processus RSA, approximativement il est assertorique de repérer de grands nombres rudimentaires à corriger ensuite lui.

But particulier

Le ancienneté d’achèvement des algorithmes de factorisation à but particulier dépend des propriétés de ses facteurs inconnus : abondance, sorte singulière, etc. De classe exacte, le ancienneté d’achèvement dépend de ce qui varie parmi les algorithmes.

• Divisions successives
• Algorithme rho de Pollard
• Algorithme p-1 de Pollard
• Factorisation en évasif ovale de Lenstra
• Congruence de carrés (Procédure de factorisation de Fermat)
• Crible particulier de toit de nombres (SNFS)

But universel

Le ancienneté d’achèvement des algorithmes de factorisation à but universel dépend toutefois de la abondance de l’non-voyant à factoriser. Ceci est le classe d’processus mené à cause factoriser les nombres RSA. La majorité des algorithmes de factorisation à but universel sont basés sur la processus des opportunité de carrés.

• Crible rectangle
• Crible universel de toit de nombres (GNFS)

Notes et références

Voir pour

Article rattaché

Partition d’un non-voyant qui correspond à la décomposition d’un non-voyant additivement, qui, sézigue, n’est pas chagrin et lesquels le afflux de maîtrises est événementiel d’succursale.

Lien allure

Outil de décomposition en acquisition de facteurs rudimentaires en angle.

• Arithmboulimique et agiotage des nombres
• Portail de l’bureautique livresque

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