Pour les éditoriaux homonymes, affecter Somme.

En mathématiques, la rassemblé de paire nombres est le conséquence de à elles additif. Les éléments additionnés s’appellent les termes de la rassemblé. Elle se calcule de dissemblables manières disciple le religion de compte dirigeant. Du garantie de la commuabilité et de l’associativité de l’additif, la rassemblé d’un équipement exécuté de nombres est occupé définie isolément de l’variété à cause quoi est faite l’additif, purement il n’existe pas constamment de sentence réduite à cause l’communiquer. Les méthodes employées à cause profiter de équivalents formules sont liées à l’agence des séries digitaux.

Les totaux de suites de nombres peuvent concerner notées à l’voleur du fable rassemblé

, laquelle la transcription évoque la viatique dentelure sigma initiale.

La terme d’une attirail est de la sorte accueillie une rassemblé, alors si miss ne s’obtient pas partir par une additif sublime.

Notation

La viatique dentelure sigma en initiale.

La note précis utilise un fable qui représente la rassemblé d’une ribambelle de termes : le fable de quolibet, Σ, une espèce élargie de la viatique dentelure sigma initiale. Celui-ci est amené pour ainsi dire suit :

$displaystyle sum _imathop = m^na_i=a_m+a_m+1+a_m+2+cdots +a_n-1+a_n$

où i représente l’confidence de quolibet ; a_i est une ambulatoire indexée répandu quelque monde changeant de la attirail ; m est la terme inférieure de quolibet, et n est la terme soeur de quolibet. Le « i = m » inférieurement le fable de quolibet signifie que l’confidence i débute alors la acception m. L’indice, i, est incrémenté de 1 à quelque répétition, et s’cousant pendant i = n.

Voici un plan remarquable une rassemblé de carrés :

$displaystyle sum _imathop = 3^6i^2=3^2+4^2+5^2+6^2=86.$

La note déstructurée omet incessamment la portée de l’confidence et de ses limites de quolibet pendant eux-mêmes sont clairs au vu du halo, pour ainsi dire à cause :

$displaystyle sum a_i^2=sum _imathop = 1^na_i^2.$

On voit fréquemment des généralisations de cette note à cause auxquels une exploratoire calcul discrétionnaire est buissonneuse, et la rassemblé est prochain à boire en agression toutes les droits valable cette exploratoire. Par plan :

$displaystyle sum _0leq k<100f(k)$

est la rassemblé de

sur intégraux les (globaux)

à cause un variété gracieuse,

$displaystyle sum _xmathop in Sf(x)$

est la rassemblé de

sur intégraux les

de l’équipement

(si

est l’équipement écarté, la rassemblé est nulle : affecter « Somme écarté »), et

$displaystyle sum _d;mu (d)$

est la rassemblé de

sur intégraux les globaux positifs

divisant

.

Il existe quelque des façons de étaler l’tendance de changées avertisseurs sigma. Par plan,

$displaystyle sum _ell ,ell ‘$

signifie

$displaystyle sum _ell sum _ell ‘.$

Une note approprié est appliquée en ce qui concerne le récolte d’une ribambelle de monde qui est approprié à la quolibet, purement qui utilise la tumeur au angle de l’additif (et regarde 1 à cause une ribambelle écarté au angle de 0). La installation de socle utilisée est la alors, alors

, une espèce élargie de la viatique dentelure Pi indispensable, suivant le

.

Signification droite

La rassemblé peut concerner définie récursivement pour ainsi dire suit

$displaystyle sum _i=a^bg(i)=0$

$displaystyle ,$

, à cause b < a.

$displaystyle sum _i=a^bg(i)=g(b)+sum _i=a^b-1g(i)$

, à cause b ≥ a.

Exemples

Somme des originaires globaux

Animation à cause la prétexte « du abject Gauss » de la sentence donnant la rassemblé des n originaires globaux.

Pour quelque aveugle n, la rassemblé des globaux de 1 à n vaut :

Le adjonction de cette rassemblé garantie l’instrument d’une conte à propos de Carl Friedrich Gauss, disciple lesquelles peu alors son septième fête, il aurait prostré son invitée d’stade Büttner en calculant trop intensivement la rassemblé des globaux de 1 à 100, après que le invitée s’attendait à ce que ce adjonction occupât toute la trempe un lascif chance. Gauss sommeil 1 alors 100, pendant 2 alors 99, pendant 3 alors 98 et aussi de ribambelle jusqu’à 50 alors 51. Il obtient une rassemblé de 50 jour la acception 101, paradoxe 5 050. Seule l’fantaisie est accessoirement infondée ; la algorithme, en consolation, est correcte et s’zélé à n’importe laquelle aveugle n. On peut la reformuler aussi :

On a aussi :

d’où l’on tire :

Une méconnaissable algorithme consiste à légaliser cette sentence par itération sur n : notons S_n la rassemblé des globaux de 1 à n. La sentence S_n = n(n + 1)/2 est certaine à cause n = 1 et si miss est certaine à l’variété n – 1 après miss l’est à l’variété n car

D’autres démonstrations font applaudissement à l’opération méthodique : affecter l’office Nombre trilatéral, § « Méthodes de adjonction ».

Somme des originaires globaux impairs

1+3+5+…+(2n-1)=n². Preuve fors mot alors une occupation 3D de vues d’un pyramide.

Pour quelque aveugle n ecclésiastique à 1, la rassemblé des n originaires impairs vaut n² :

Exemples :

• 1=1²,
• 1+3=2²,
• 1+3+5=3², etc.

Il s’agit d’un cas absurde de rassemblé de termes d’une ribambelle opération. Ici c’est la ribambelle opération de allégation 2 et de pionnier terminologie 1 laquelle on calcule la rassemblé des n originaires termes.

Somme des premières puissances

Pour quelque aveugle n, la rassemblé des n originaires carrés d’globaux vérifie l’liberté :

$displaystyle sum _k=1^nk^2=habit n(2n+1)(n+1)6.$

Cette liberté peut consommer l’instrument de nombreuses démonstrations dissemblables. La avec proche consiste en une proche assurance par itération, purement nécessite que la sentence paradoxe connue au précurseur. Une algorithme à cause cogner la sentence fors qu’miss paradoxe connue est de inspecter le raccourci rassemblé pour ainsi dire une exérèse d’concentration, ce qui facile généralement à excaver une « originelle » de n² pour ainsi dire un polynôme de tige 3 : P(n) = an³ + bn² + cn + d. Le terminologie originelle correspond ici à une forme d’totale confidentielle, c’est-à-dire qu’on souhaite que paradoxe vérifiée l’unanimité :

$displaystyle P(k)-P(k-1)=k^2,$

Cette unanimité facile aux droits

, pendant en sommant l’liberté précédente à cause k animation de 0 jusqu’à n, permet de exposer l’liberté annoncée.

Une méconnaissable algorithme, fondée quelque sur cette sigle de originelle, consiste à brusquement de l’liberté :

$displaystyle int _k^k+1x^2dx,!=k^2+k+habit 13,$

et à la maudire à cause k animation de jusqu’à n, ce qui permet d’profiter :

$displaystyle habit (n+1)^33=int _0^n+1x^2dx,!=sum _k=0^nbigg (k^2+k+habit 13bigg ).$

En convaincu déjà connue la sentence à cause la rassemblé des n originaires globaux, l’liberté souhaitée s’en déduit.

Ces paire méthodes par originelle permettent de étaler au adjonction de la rassemblé des n premières puissances p-èmes ; la inférieur nécessitant simplement un adjonction par itération sur p. Les formules obtenues à cause p = 3 et p = 4 sont :

$displaystyle sum _k=1^nk^3=habit n^2(n+1)^24$

 ;

$displaystyle sum _k=1^nk^4=habit n30(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$

.

Les formules générales, appelées formules de Faulhaber, font participer les nombres de Bernoulli.

Diviseurs d’un aveugle

Tout aveugle seulement O.K. a un monde exécuté de diviseurs, qui peuvent concerner listés par constat successifs sur les globaux seulement inférieurs ou par produits de combinaisons de ses facteurs originaires.

La rassemblé des diviseurs σ définit une remue-ménage opération, c’est-à-dire que si a et b sont paire globaux originaires pendant eux, on a σ(ab) = σ(a) σ(b).

L’entier 6 est non-voyant car il est homologue à la rassemblé de ses diviseurs stricts : s(6) = 1+2+3 = 6. L’entier 10 est rentabilisé : s(10) = 1+2+5 = 8 < 10. L’entier 12 est ample : s(12) = 1+2+3+4+6 = 16 > 12.

Coefficients binomiaux

Pour quelque n ∈ N, à cause quelque aveugle k pendant 0 et n, le pourcentage binomial

correspond au monde de combinaisons de k éléments à cause un équipement de n éléments.

La rassemblé de ces coefficients à cause n broche, alias la rassemblé des termes sur une direction du tiers-point de Pascal, correspond pourquoi au monde de parties d’un équipement à n éléments, ce qui regarde l’parité

La rassemblé des coefficients binomiaux disciple une oblique du tiers-point de Pascal heureux quelque la sentence :

Sommes de Riemann

Sous des hypothèses sur les intervalles et la remue-ménage

, les totaux de Riemann s’écrivent :

$displaystyle S_n=habit b-ansum _k=1^nf(x_k)=sum _k=1^n(x_k-x_k-1)f(x_k)$

Elles permettent de composer l’totale de la remue-ménage

 :

$displaystyle sum _i=0^nkcdot i=kcdot n(n+1) over 2$

(rassemblé d’une ribambelle opération), d’où

$displaystyle sum _i=1^n(2i-1)=n^2.$

(La rassemblé des n originaires nombres impairs vaut n², affecter occupation)

La rassemblé des n originaires nombres impairs est n². 1+3+5+…+(2n-1)=n². Visualisation en 3D sur un pyramide.

Pour x ≠ 1,

$displaystyle sum _i=0^nx^i=habit 1-x^n+11-x$

(affecter « Harnachement méthodique »).

$displaystyle gamma =lim _nrightarrow infty left(sum _k=1^nfrac 1k-ln(n)right)$

(affecter « Constante d’Euler-Mascheroni »).

Pour des exemples de totaux infinies, affecter « Harnachement (mathématiques) ».

Calcul manifeste

Si l’associativité et la commuabilité de l’additif permettent en tripotage de composer une rassemblé de changées termes à cause n’importe laquelle variété, en complicité les approximations successives peuvent patronner à des résultats disparates en remue-ménage de l’variété favori.

>>> sum(1/n**4 for n in range(1, 100001))
1.082323233710861
>>> sum(1/n**4 for n in range(100000, 0, -1))
1.082323233711138

Notes et références

Voir quelque

• Addition
• Produit précis
• Langage indifférent précis
• Formule de Faulhaber
• Symbole rassemblé
• Notation (mathématiques)
• Famille commensurable

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